根據以上的公式，我們可以知道如果△ABC 如下圖: A B C θ a b 則△ABC 的面積是 1 2|

24-1

(24) 向量的應用

我們首先要討論向量的應用:求三角形的面積，請看下圖:

A

B

D C

θ

△ABC 的面積是¹

2𝐵𝐷 × 𝐴𝐶

假設我們已知𝐴𝐵、𝐴𝐶以及∠𝐵𝐴𝐶＝𝜃

我們就可以求出𝐵𝐷，因為

𝐵𝐷

𝐴𝐵 = 𝑠𝑖𝑛 𝜃

∴ 𝐵𝐷 = 𝐴𝐵 𝑠𝑖𝑛 𝜃

因此，△ABC 的面積是¹

2(𝐴𝐵 × 𝐴𝐶) 𝑠𝑖𝑛 𝜃

問題是𝑠𝑖𝑛 𝜃如何可知道?

如果我們使用向量來表示三角形，三角形就會像下圖:

A

B

O

a

b

△OAB 的面積是|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| 𝑠𝑖𝑛 𝜃

24-2

要求得𝑠𝑖𝑛 𝜃，可以用下圖:

A

B O

a

b C

α β

在上圖，𝑂𝐶̅̅̅̅是 x 軸，∠𝐴𝑂𝐶＝𝛼，∠𝐵𝑂𝐶＝𝛽

∴ ∠𝐴𝑂𝐵 = 𝛼 − 𝛽 = 𝜃

我們再從A 和 B 作垂直於𝑂𝐶̅̅̅̅的垂直線，如下圖:

A

B O

a

b C

α

D E

θ

a⃗⃗=(𝑎₁, 𝑎₂)

b⃗⃗=(𝑏₁, 𝑏₂)

𝑠𝑖𝑛 𝛼 =𝐴𝐷

|𝑎⃗| = 𝑎₂

|𝑎⃗|

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =𝑂𝐷

|𝑎⃗| = 𝑎₁

|𝑎⃗|

𝑠𝑖𝑛 𝛽 =𝐵𝐸

|𝑏⃗⃗|= 𝑏₂

|𝑏⃗⃗|

24-3

𝑐𝑜𝑠 𝛽 =𝑂𝐸

|𝑏⃗⃗| = 𝑏₁

|𝑏⃗⃗|

我們可以利用三角加減公式:𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑠𝑖𝑛(𝛼 − 𝛽) = 𝑠𝑖𝑛 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝛽 − 𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛽

∴ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂

|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|

根據以上的公式，我們可以知道如果△ABC 如下圖:

A

B

C

a

b

則△ABC 的面積是

1

2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =1

2|𝑎⃗||𝑏⃗⃗|𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂

|𝑎⃗||𝑏⃗⃗| =1

2(𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂)

(1)假設𝐴 = (1,2)，𝐵 = (4,6)，𝐶 = (6,5)

𝑎⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (4 − 1, 6 − 2) = (3, 4) = ( 𝑎₁, 𝑎₂) 𝑎₁ = 3，𝑎₂ = 4

𝑏⃗⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (6 − 1, 5 − 2) = (5, 3) = ( 𝑏₁, 𝑏₂) 𝑏₁ = 5，𝑏₂ = 3

∴ △ 𝐴𝐵𝐶的面積 =1

2(𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂) =1

2(4 × 5 − 3 × 3) =1

2(20 − 9) =11 2

24-4

(2)假設𝐴 = (0,0)，𝐵 = (2,2)，𝐶 = (2,0)

𝑎⃗ = (2 − 0, 2 − 0) = (2, 2) 𝑎₁ = 2，𝑎₂ = 2

𝑏⃗⃗ = (2 − 0, 0 − 0) = (2, 0) 𝑏₁ = 2，𝑏₂ = 0

∴ △ 𝐴𝐵𝐶的面積 =1

2(𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂) =1

2(2 × 2 − 2 × 0) =1

2× 4 = 2

這個三角形如下圖:

A(0,0)

B(2,2)

C(2,0)

2

大家可以很容易地證明△ABC 的面積是

1

2𝐵𝐶 × 𝐴𝐶 =1

2× 2 × 2 = 2

所以我們用向量的算法是正確的

24-5

(3)請看下圖:

B(2,2)

A(0,0) C(1,0)

a

b

𝑎⃗ = (2 − 0, 2 − 0) = (2, 2) 𝑎₁ = 2，𝑎₂ = 2

𝑏⃗⃗ = (1 − 0, 0 − 0) = (1, 0) 𝑏₁ = 1，𝑏₂ = 0

△ABC 的面積是

1

2(𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂) =1

2(2 × 1 − 2 × 0) = 1

(4)請看下圖:

A(0,0) B(2,0)

C(1,1)

a b

𝑎⃗ = (1 − 0, 1 − 0) = (1, 1) 𝑎₁ = 1，𝑎₂ = 1 𝑏⃗⃗ = (2 − 0, 0 − 0) = (2, 0) 𝑏₁ = 2，𝑏₂ = 0

△ABC 的面積是 ¹

2(𝑎₂𝑏₁− 𝑎₁𝑏₂) =¹

2(1 × 2 − 1 × 0) = 1